本文中的「重子节点」、「轻边」等术语定义同重链剖分。

全局平衡二叉树，即在重链剖分的基础之上，使用静态二叉树来维护重链，从而得到的常数优秀、复杂度 $\mathcal O(\log n)$ 的数据结构。

全局平衡二叉树可以用于在 $\mathcal O(\log n)$ 的时间内处理树上链修改/查询，可以代替树剖维护链上信息。（其实也可以维护子树信息，但是我不会。）

全局平衡二叉树

例题：[LNOI2014] LCA。

给定一棵以 $0$ 为根的树，记 $\textit{dep}_x$ 为 $x$ 的深度。

给定 $m$ 次询问，每次询问给出 $l,r,z$，求 $\sum\limits_{i=l}^r\textit{dep}_{\operatorname{lca}(i,z)}\bmod 201314$。

为了便于分析，不妨令根节点为 $1$。

考虑这样一个事情，$\textit{dep}_{\operatorname{lca}(i,z)}$ 其实就是 $1\sim i$ 和 $1\sim z$ 两条链上的公共点数。

询问可以对于每一个合法的 $i$，将 $1\sim i$ 链上的每一个点点权增加 $1$，查询 $1\sim z$ 链上的点数。

可以考虑将询问离线。容易发现，$[l,r]$ 的答案就是 $[1,r]$ 的答案减去 $[1,l-1]$ 的答案。$1\sim n$ 依次加点，计算对应贡献即可。

这样就可以优化到 $n$ 次修改，$2m$ 次查询。

我们需要维护一个树上数据结构，能够高效地支持：

链上信息修改，即链上点权增加。
链上信息查询，即链上点权和。

全局平衡二叉树可以 $\mathcal O(\log n)$ 实现这些操作。

主要性质

先看一个例子。

使用实线表示「重边」，虚线表示「轻边」。

例如，有这样一棵树：

其全局平衡二叉树为：

全局平衡二叉树是由若干棵静态二叉树组成的树，这些二叉树由内向轻边相连。
全局平衡二叉树的每一棵二叉树都维护一条重链的信息。其中序遍历是原重链按照深度单调递增得到的序列。
全局平衡二叉树的边分轻边和重边。重边是正常的边，也是原重链中的重边；轻边均为单向边，均从一棵二叉树的根节点指向其父节点（即「内向」）。（注意，「重子节点」和「轻子节点」一般情况下还是取重链剖分意义下的对应节点。）
全局平衡二叉树的树高为 $\mathcal O(\log n)$。

注意到，$1\sim x$ 的路径上，如果有 $a$ 条轻边，则代表至少有 $a$ 条重链，而根据重链剖分的性质，重链数量为 $\mathcal O(\log n)$，因此 $\mathcal O(a)=\mathcal O(\log n)$。

注意到，$1\sim x$ 的路径上，如果有 $b$ 条重边，因为全局平衡二叉树的建树方式（见下文），重边至多为 $\mathcal O(\log n)$ 条。

建树

首先可以跟重链剖分一样，先 DFS 一遍预处理出原树上节点 $x$ 的子树大小 $\textit{size}_x$，重子节点 $\textit{son}_x$，父节点 $\textit{father}_x$。在代码中，这一部分存储在名为 tree 的 namespace 中。

从根节点 $1$ 开始，对于当前节点 $x$ 所在的重链上所有节点的轻子节点递归建树。

递归结束后，便是对当前节点 $x$ 所在重链部分（不一定完整）建树。

设 $y_1,y_2,\cdots,y_k$ 是当前重链上按照深度从小到大排序后的节点。

对于重链上的节点 $y_i$，可以计算 $y_i$ 的权值：

\[s_i=s_{i-1}+\textit{size}_{y_i}-\textit{size}_{\textit{son}_{y_i}}\]

特别地，$s_0=0$。

不妨设当前子树由 $y_l\sim y_r$ 构成。

那么，若 $i$ 满足：

\[s_i\leq\dfrac{s_r+s_{l-1}}2\leq s_{i+1}\]

则，$i$ 就是当前部分的根节点，递归建左子树 $y_l\sim y_{i-1}$，和右子树 $y_{i+1}\sim y_r$ 即可。

同时，可以预处理出全局平衡二叉树上节点 $x$ 的子树大小 $\textit{size}’_x$。

建树方式的好处

注意到对于 $x$，因为上文中 $x$ 是加权中点，因此左右子树的大小量级是相同的。

跳一次重边，节点的轻子树大小和至少会翻倍，于是跳的总重边数量不超过 $\mathcal O(\log n)$。

因此可以保证整个全局平衡二叉树的高度为 $\mathcal O(\log n)$。

参考代码

```cpp struct node{ int father,lChild,rChild; }t[N+1]; //返回根节点 int buildBST(int l,int r,int point[],int s[]){ if(l==r){ return point[l]; } if(r<l){ return 0; } int p=lower_bound(s+l,s+r+1,s[r]+s[l-1]>>1)-s+1; p=point[p]; t[p].lChild=buildBST(l,p-1,point,s); t[t[p].lChild].father=p; t[p].rChild=buildBST(p+1,r,point,s); t[t[p].rChild].father=p; return p; } int build(int x){ int y=x; do{ for(int i:tree::g[y]){ if(i==tree::son[y]||i==tree::father[y]){ continue; } t[build(i)].father=y; } y=tree::son[y]; }while(y); static int point[N+1],s[N+1]; int size=0; for(;x;x=tree::son[x]){ size++; point[size]=x; s[size]=s[size-1]+tree::size[x]-tree::size[tree::son[x]]; } return buildBST(1,size,point,s); } ```

链上修改

以例题中，将 $1\sim x$ 链上所有点权增加 $k$ 为例。

从 $x$ 开始暴力往上跳，跳到一个节点，那么就是对应树剖中操作重链上所有深度小于等于 $x$ 的点，即操作全局平衡二叉树上 $x$ 及其左子树。

那么就可以维护左子树信息，操作时向上合并信息即可。可以写标记永久化。

打一个 $\textit{tag}_x$ 表示以 $x$ 为根节点的整个子树增加的懒标记。记 $\textit{value}_x$ 表示 $x$ 表示以 $x$ 为根节点的整个子树的权值和。记 $\textit{size}’_x$ 为 $x$ 子树大小。（注意：这里的「子树」不包括轻边及其延伸子树，即只包括「重边」。）

参考代码

```cpp void add(int x,int k){ int pl=0; bool flag=true; while(x){ //标记永久化 t[x].value=(t[x].value+pl)%P; if(flag){//不是左子节点(左子节点会被上面的某一个节点计算贡献) t[x].tag=(t[x].tag+k)%P; if(t[x].rChild){ t[t[x].rChild].tag=(t[t[x].rChild].tag-k)%P; } //标记永久化 pl=(pl + k*(t[t[x].lChild].size+1) )%P; t[x].value=(t[x].value - k*t[t[x].rChild].size)%P; } flag=(x!=t[t[x].father].lChild); //轻边,标记清空 if(flag && x!=t[t[x].father].rChild){ pl=0; } x=t[x].father; } } ```

链上查询

几乎一样，查询左子树和节点信息即可。

参考代码

```cpp int query(int x){ int ans=0; bool flag=true; int pl=0;//左子树总大小 while(x){ if(flag){ ans=(ans+t[x].value-t[t[x].rChild].value)%P; ans=(ans-1ll*t[t[x].rChild].size*t[t[x].rChild].tag)%P; pl=(pl + 1 + t[t[x].lChild].size)%P; } ans=(ans+1ll*pl*t[x].tag)%P; flag=(x!=t[t[x].father].lChild); if(flag && x!=t[t[x].father].rChild){ pl=0; } x=t[x].father; } return ans; } ```

例题 AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
#include<set>
using namespace std;
constexpr const int N=50000,M=50000,P=201314;
int n,m,ans[M+1],z[N+1];
vector<int>pl[N+1],pr[N+1];
namespace tree{
	int father[N+1],size[N+1],son[N+1];
	//这里的 g 由于这个题目是有根树,是不包含父节点的,但是如果是无根树就应当包含父节点.
	//为了适用性,以下代码均视为包含父节点处理. 
	vector<int>g[N+1];
	void dfs(int x,int fx){
		father[x]=fx;
		size[x]=1;
		for(int i:g[x]){
			if(i==fx){
				continue;
			}
			dfs(i,x);
			if(size[i]>size[son[x]]){
				son[x]=i;
			}
			size[x]+=size[i];
		}
	}
	int main(){
		dfs(1,0);
		return 0;
	}
}
namespace globalBST{
	struct node{
		int father,lChild,rChild;
		int value,tag,size;
	}t[N+1];
	int buildBST(int l,int r,int point[],int s[]){
		if(r<l){
			return 0;
		}
		int q=lower_bound(s+l,s+r+1,s[r]+s[l-1]>>1)-s;
		int p=point[q];
		t[p].lChild=buildBST(l,q-1,point,s);
		t[t[p].lChild].father=p;
		t[p].rChild=buildBST(q+1,r,point,s);
		t[t[p].rChild].father=p;
		t[p].size=t[t[p].lChild].size+t[t[p].rChild].size+1;
		return p;
	} 
	int build(int x){
		int y=x;
		do{
			for(int i:tree::g[y]){
				if(i==tree::son[y]||i==tree::father[y]){
					continue;
				}
				t[build(i)].father=y;
			}
			y=tree::son[y];
		}while(y);
		static int point[N+1],s[N+1];
		int size=0;
		for(;x;x=tree::son[x]){
			size++;
			point[size]=x;
			s[size]=s[size-1]+tree::size[x]-tree::size[tree::son[x]];
		}
		return buildBST(1,size,point,s);
	}
	int main(){
		build(1);
		return 0;
	}
	void add(int x,int k){
		int pl=0;
		bool flag=true;
		while(x){
			t[x].value=(t[x].value+pl)%P;
			if(flag){
				t[x].tag=(t[x].tag+k)%P;
				if(t[x].rChild){
					t[t[x].rChild].tag=(t[t[x].rChild].tag-k)%P;
				}
				pl=(pl + k*(t[t[x].lChild].size+1) )%P;
				t[x].value=(t[x].value - k*t[t[x].rChild].size)%P;
			}
			flag=(x!=t[t[x].father].lChild);
			if(flag && x!=t[t[x].father].rChild){
				pl=0;
			}
			x=t[x].father;
		}
	}
	int query(int x){
		int ans=0;
		bool flag=true;
		int pl=0;
		while(x){
			if(flag){
				ans=(ans+t[x].value-t[t[x].rChild].value)%P;
				ans=(ans-1ll*t[t[x].rChild].size*t[t[x].rChild].tag)%P;
				pl=(pl + 1 + t[t[x].lChild].size)%P;
			}
			ans=(ans+1ll*pl*t[x].tag)%P;
			flag=(x!=t[t[x].father].lChild);
			if(flag && x!=t[t[x].father].rChild){
				pl=0;
			}
			x=t[x].father;
		}
		return ans;
	}
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n>>m;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int x;
		cin>>x;
		x++;
		tree::g[x].push_back(i);
	}
	tree::main();
	globalBST::main();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r;
		cin>>l>>r>>z[i];
		l++,r++,z[i]++;
		pl[l-1].push_back(i);
		pr[r].push_back(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		globalBST::add(i,1);
		for(int j:pl[i]){
			ans[j]=(ans[j]-globalBST::query(z[j]))%P;
		}
		for(int j:pr[i]){
			ans[j]=(ans[j]+globalBST::query(z[j]))%P;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(ans[i]<0){
			ans[i]+=P;
		}
		cout<<ans[i]<<'\n';
	}
	
	cout.flush();
	 
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}

任意链上信息维护

上述都是 $1\sim x$ 的链，但是有时需要维护 $u\sim v$ 的链上信息。

当然可以分别维护 $1\sim u,1\sim v,1\sim\operatorname{lca}(u,v),1\sim\textit{father}’_{\operatorname{lca}(u,v)}$ 的信息，但是这样常数未免过大。

也可以考虑先从 $u,v$ 更新到 $\operatorname{lca}(u,v)$，随后继续向上更新信息。常数小一些，但是上面更好些。

全局平衡二叉树维护链上信息

例题：洛谷 P4211 [LNOI2014] LCA

全局平衡二叉树

主要性质

建树

链上修改

链上查询

例题 AC 代码

任意链上信息维护

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