题意分析
首先写出答案：
\[\textit{ans}=\sum_{i=a}^b\sum_{j=c}^d[\gcd(i,j)=k]\]这种涉及到 $\gcd$ 的题目，一般都考虑莫比乌斯反演。
不妨令 $b<d$，有：
\[\begin{aligned} \textit{ans}&=\sum_{i=\lceil\frac ak\rceil}^{\lfloor\frac bk\rfloor}\sum_{i=\lceil\frac ck\rceil}^{\lfloor\frac dk\rfloor}[i\perp j]\\ &=\sum_{i=\lceil\frac ak\rceil}^{\lfloor\frac bk\rfloor}\sum_{i=\lceil\frac ck\rceil}^{\lfloor\frac dk\rfloor}\sum_{t\mid\gcd(i,j)}\mu(t)\\ &=\sum_{t=1}^{\lfloor\frac bk\rfloor}\mu(t)\left(\left\lfloor\frac b{kt}\right\rfloor-\left\lceil\frac a{kt}\right\rceil+1\right)\left(\left\lfloor\frac d{kt}\right\rfloor-\left\lceil\frac c{kt}\right\rceil+1\right) \end{aligned}\]使用线性筛预处理 $\mu(t)$ 前缀和，数论分块计算即可。
AC 代码
时间复杂度：$\mathcal O\left(n\dfrac bk\sqrt{\dfrac bk}\right)$。
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//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int V=5e4;
int preMu[V+1];
void pre(){
preMu[1]=1;
static bool vis[V+1];
static int size,prime[V+1];
for(int i=2;i<=V;i++){
if(!vis[i]){
preMu[i]=-1;
prime[++size]=i;
vis[i]=i;
}
for(int j=1;j<=size&&i*prime[j]<=V;j++){
vis[i*prime[j]]=prime[j];
if(i%prime[j]==0){
break;
}
preMu[i*prime[j]]=-preMu[i];
}
}
for(int i=1;i<=V;i++){
preMu[i]+=preMu[i-1];
}
}
ll query(int a,int b,int c,int d,int k){
ll ans=0;
if(b>d){
swap(a,c);swap(b,d);
}
for(int l=1,r=0;l<=b;l=r+1){
int tb=b/l,td=d/l;
int ta=(a-1)/l,tc=(c-1)/l;
r=min(b/tb,d/td);
if(ta){
r=min(r,(a-1)/ta);
}
if(tc){
r=min(r,(c-1)/tc);
}
ans+=(tb/k - ceil(1.0*a/(k*l)) +1ll)*(td/k - ceil(1.0*c/(k*l)) +1ll)*(preMu[r]-preMu[l-1]);
}
// for(int t=1;t<=b;t++){
// ans+=mu[t]*(b/k/t-ceil(1.0*a/k/t)+1ll)*(d/k/t-ceil(1.0*c/k/t)+1ll);
// }
return ans;
}
int main(){
/*freopen("test.in","r",stdin);
freopen("test.out","w",stdout);*/
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
pre();
int T;
cin>>T;
while(T--){
int a,b,c,d,k;
cin>>a>>b>>c>>d>>k;
cout<<query(a,b,c,d,k)<<'\n';
}
cout.flush();
/*fclose(stdin);
fclose(stdout);*/
return 0;
}
