题解:[CSP-S 2022] 假期计划

洛谷P8817 | BFS 最短路

Posted by TH911 on July 8, 2025

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题意分析

$n\leq2500$,直接 $\mathcal O\left(n^4\right)$ 肯定不行,但是也代表着 $\mathcal O\left(n^2\right)$ 量级的时间或空间复杂度是可以接受的。

因此,可以在 $\mathcal O\left(n^2\right)$ 的时间内通过 $n$ 次 BFS 求出 $\textit{can}_{i,j}$,即点 $i,j$ 之间的最短路上其他点的数量是否小于等于 $k$。

枚举 $4$ 个点不行,考虑优化——枚举 $2$ 个点,随后直接确定另外 $2$ 个点——这也是这道题的核心。

设路径为 $1\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow 1$。

可以发现,这要求 $\textit{can}{1,a},\textit{can}{a,b},\textit{can}{b,c},\textit{can}{c,d},\textit{can}_{d,1}$,因此枚举 $b,c$,随后通过限制条件来确定 $a,d$。

可以对于每一个点 $x$,预处理出 $x,1$ 均能到达的点集 $V_x$,那么 $a,d$,即 $V_b,V_c$ 中点权最大的两个点。

存在的一个问题,即这两个点有可能是重复的,这是就需要选择点权次大点

但是仍然可能与 $a,c$ 重复,因此可以将 $V_b,V_c$ 中前 $3$ 大的点拿出来组合,更新答案。

AC 代码

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//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int N=2500,M=10000,K=100;
constexpr const ll S=1e18;
int n,m,k;
vector<int>g[N+1]; 
ll s[N+1];
bool can[N+1][N+1];
vector<int>canList[N+1];
void bfs(int x){
	queue<int>q;
	q.push(x);
	static int Tag,tag[N+1],dis[N+1];
	Tag++;
	dis[x]=-1;
	tag[x]=Tag;
	for(int i:g[x]){
		q.push(i);
		dis[i]=0;
		tag[i]=Tag;
	}
	while(q.size()){
		int u=q.front();q.pop();
		can[x][u]=true;
		for(int i:g[u]){
			if(tag[i]!=Tag){
				tag[i]=Tag;
				dis[i]=-1;
			}
			if(dis[i]==-1&&dis[u]+1<=k){
				dis[i]=dis[u]+1;
				tag[i]=Tag;
				q.push(i);
			}
		}
	}
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		cin>>s[i];
	}
	while(m--){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	bfs(1);
	can[1][1]=false;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		bfs(i);
		can[i][i]=false;
		for(int j=2;j<=n;j++){
			if(i!=j&&can[i][j]&&can[1][j]){
				canList[i].push_back(j);
			}
		}
		sort(canList[i].begin(),canList[i].end(),[](int a,int b){
			return s[a]>s[b];
		});
	}
	ll ans=-4*S-1;
	for(int b=2;b<=n;b++){
		for(int c=b+1;c<=n;c++){
			if(!can[b][c]){
				continue;
			}
			if(!canList[b].size()||!canList[c].size()){
				continue;
			}
			for(int i=0;i<3&&i<canList[b].size();i++){
				for(int j=0;j<3&&j<canList[c].size();j++){
					int a=canList[b][i],d=canList[c][j];
					if(a!=c&&a!=d&&b!=d){
						ans=max(ans,s[a]+s[b]+s[c]+s[d]);
					}
				}
			}
		}
	}
	cout<<ans<<'\n';
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}