割点
所谓割点，就是连通图中的某一个点满足删除该点后，原图不再连通。
如图中的 $2,4$ 就是一个割点。
但需要注意的是，割点不一定在环上，比如：
图中的 $2$ 就是割点。
不过存在特殊情况：
该图没有割点，无论去掉 $1$ 还是 $2$，最后都会剩下一个节点。
关于“割点”不同的定义
如同平衡树中的“左旋”与“右旋”，割点的定义也有不同的说法。（上文是主流说法）
比如说第三张图中只有两个节点，有人认为这两个都是割点，即剩下的那个节点不连通。
无向图 Tarjan 求割点
前置知识
无向图 Tarjan 求割点
前向边与横边不存在
见此处。
一棵有向图的 DFS 生成树如图：
图中绿色为普通树边，橙色为回溯边，红色为前向边，紫色为横边。
考虑到无向图，实际上 DFS 生成树中只有普通树边和回溯边。
前向边不存在，因为无向，因此前向边反向就是一条回溯边。
横边不存在，因为按照 DFS 搜索顺序不会使其有可能存在。
例如图中搜索到 $4$ 之后，按照 DFS 的原则会先后搜索 $3,6$，不可能只搜索 $6$ 然后回退至 $1$ 再搜索到 $3$，然后连横边。
即化为：
一定不为割点的情况
当该节点是 DFS 生成树的叶节点或只有一个子节点的根节点。
- 叶节点显然不影响生成树的连通。
- 根节点如果只有一个子节点，那么该子节点可以成为新的根节点，不影响连通。
割点的判定
以下讨论均在 DFS 生成树上。
令节点 $x$ 的子节点为节点 $y_1,y_2,y_3,\cdots,y_k$，则删除节点 $x$ 后其所在连通块会分裂为 $k+1$ 个部分：$y_1,y_2,y_3,\cdots,y_k$ 和父节点及其子树。
那么我们需要判断的就是能否使其分裂为至少 $2$ 个部分。
- 当节点 $x$ 为根节点时，需要分裂出至少两个符合以下规定的部分。
- 因为父节点的部分肯定是能够分裂出来的，因此当 $x$ 不为根节点时，需要分裂出至少一个符合以下规定的部分。
由于 DFS 生成树的性质，$\textit{dfn}_{y_i}$ 肯定是大于 $\textit{dfn}_x$ 的。
那么 $\textit{low}{y_i}$ 初始时为 $\textit{dfn}{y_i}$ 也大于 $\textit{dfn}_x$。
因此若求出来的 $\textit{low}_{y_i}\geq\textit{dfn}_x$，则代表其是节点 $x$ 的子节点部分，即不能回退到更高的地方。
但是存在一个问题：如果只需要分裂出一个很好判断，然而当 $x$ 为根节点时需要判断两个，如何判断 $y_i$ 之间有没有连接呢？
不需要判断，$y_i$ 之间绝对没有连接。
由无向图，不存在横边，因此 $y_i$ 之间想要连接只能够通过公共祖先，然而 $x$ 为根节点是其子节点的唯一公共祖先。
因此当 $x$ 为根节点时，$y_i$ 之间不会相连。
子节点数 son 计算代码：
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if(!dfn[i]){
Tarjan(i,root);
low[x]=min(low[x],low[i]);
if(low[i]>=dfn[x]){
son++;
}
}
答案记录：
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if(x==root){
if(son>=2){
ans.push_back(x);
}
}else{
if(son>=1){
ans.push_back(x);
}
}
例题 AC 代码
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//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int N=2e4;
int n;
vector<int>g[N+1];
int dfn[N+1];
vector<int>ans;
void Tarjan(int x,int root){
static int cnt,low[N+1];
dfn[x]=low[x]=++cnt;
int son=0;
for(int i:g[x]){
if(!dfn[i]){
Tarjan(i,root);
low[x]=min(low[x],low[i]);
if(low[i]>=dfn[x]){
son++;
}
}else{
low[x]=min(low[x],dfn[i]);
}
}
if(x==root){
if(son>=2){
ans.push_back(x);
}
}else{
if(son>=1){
ans.push_back(x);
}
}
}
int main(){
/*freopen("test.in","r",stdin);
freopen("test.out","w",stdout);*/
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
int m;
cin>>n>>m;
while(m--){
int u,v;
cin>>u>>v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i]){
Tarjan(i,i);
}
}
sort(ans.begin(),ans.end());
cout<<ans.size()<<'\n';
for(int i:ans){
cout<<i<<' ';
}
cout.flush();
/*fclose(stdin);
fclose(stdout);*/
return 0;
}
